8.2 Гидродинамическая теория кумуляция.

Для объяснения явления формирования кумулятивной струч из металла облицовки м установления его основных закономер­ностей была разработана гидродинамическая теория кумуляции. Основы этом теории были заложены в 1945 г. Л. А. Лаврентье­вым и независимо от него американскими учеными Г. Тейлором, Г. Биркгофом. В дальнейшем гидродинамическая теория быля развита их учениками и последователями.

В основе гидродинамической теории кумуляции лежат два важных допущения:

- при взрыве заряда облицовка кумулятивном выемки мгновенно приобретает импульс, который в каждом точке направлен перпендикулярно к ее поверхности;

- материал облицовки рассматривается как идеальная не­сжимаемая жидкость.

Получим основные уравнения гидродинамической теории ку­муляции, пользуясь общими законами механики. Для этого об­ратимся к схеме стационарного течения идеальной несжимаемой жидкости в моле силы тяжести (рисунок 8.6).

Рисунок 8.6 Течение идеальной несжимаемой жидкости

Из закона сохранения массы следует, что через любое сечение площадью S рассматриваемой трубки жидкости за .равные промежутки времени протекает одинаковое количество нес­жимаемой жидкости. Тогда, обозначив ее плотность через , а скорости течения жидкости через и сечения с площадями S₁ и S₂ соответственно, запишем

что дает

Иначе говоря, произведение скорости течения жидкости на площадь поперечного сечения для рассматриваемой трубки тока сохраняется неизменной. Это утверждение называется законом неразрывности и обыч­но для несжимаемой жидкости записывается в виде

. (8.1)

Из (4.1) следует, что через сечение с меньшей площадью трубки тока жидкость течет быстрее и наоборот.

По закону сохранения энергии работа А, затрачиваемая на изменение скорости v и высоты h течения жидкости массой ni, равна сумме изменения потенциальной и кинетической энергий, то есть

(8.2)

где g — ускорение силы тяжести.

Работа внешних сил давления, равная произведению силы на перемещение , определяется как разность работ, соверша­емых внешними силами. Тогда, записывая выражение для работы в виде

и используя уравнение неразрывности (4.1), с учетом формулы (4.2), можно записать

(8.3)

в котором р

Пренебрегая разностью (h^-~h_{) ввцду ее малости и перено­ся в одну сторону слагаемые с одинаковыми индексами, из (4.3) получим уравнение Бернулли в виде

(8.4)

которое описывает стационарное движение идеальной несжи­маемой жидкости.

Рассмотрим картину соударения двух струй жидкости (риунок. 8.7). В результате столкновения этих струй образуется расхо­дящийся поток жидкости, который называется пеленой. Обоз­начим скорость, плотность и диаметр первой струи соответст­венно , а второй - соответственно .. На практике могут иметь место два случая. Если диаметры струй и скорости движения жидкости в них одинаковы, то в процессе их соударения пелена образуется в плоскости, перпендикулярной осям струй (рис. 8.7,а). Если же при одной и той же скорости

Рисунок 8.7 Схема соударения двух жидких струй

а)

жидкости диаметр одной из струй будет больше, например , или при одинаковых диаметрах скорость жидкости в од­ной из струй будет больше, например , то образующая пелена будет приобретать вид конической воронки, характери­зующейся некоторым углом в (рисунок 8.7,6).

Считая жидкости идеальными и несжимаемыми, а движение их стационарным, определим соотношение между скоростями и .

Из условия стационарности движения (4.4) следует, что гра­ница раздела жидкостей (на рисунке 4.7 линия ЛВ) неподвижна и давление на нее со стороны первой струи равно давлению со стороны второй. Тогда из формулы (4.4) можно записать

откуда искомое соотношение между скоростями струй имеет вид

(8.5)

Из формулы (8.5) видно, что если плотности струн одина­ковы, то равны и их скорости. Для несжимаемой жидкости сталкивающиеся струи и жидкость в пелене движутся с одина­ковой скоростью.

Таким образом,

(8.6)

В рассмотренной выше схеме соударения струн предполага­ется, что несжимаемая жидкость движется без внутреннего трения, следовательно, никаких потерь энергии в струях и пеле­не не происходит, а стало быть и процесс образования пелены протекает без изменения энтропии. Отсюда следует, что этот процесс полностью обратим, то есть движение жидкости можно направить в обратную сторону. В этом случае из жидкости, вли­ваемой в пелену, образуются две струи с диаметрами d\ и d₂. Этот подход и был положен в основу гидродинамической теории кумуляции взрыва заряда с конической выемкой, покрытой ме­таллической облицовкой. В динамике процесса взрыва облицов­ка в исходном состоянии рассматривается в качестве пелены, а струя и пест — две струи разного диаметра, образующиеся из пелены.

Пусть под действием продуктов взрыва каждый элемент А облицовки получает начальную скорость метания , направле­ние которой перпендикулярно образующей облицовки (рисунок. 8.8).

Рисунок 8.8 Схема образования кумулятивной струи и песта:

1- пест; 2 - облицовка; 3 - кумулятивная струя

Разложим этот вектор на две составляющие так, чтобы одна из них была направлена вдоль оси Ох, а другая вдоль образующей облицовки. Ясно, что характеризует скорость метания облицовки в направлении, параллельном продольной оси заряда, a - скорость пластического течения металла, имеющего плотность , вдоль образующей облицовки. Из рисунка 8.8 можно записать соотношение для скоростей _u и

(8.7)

,

где угол между образующей конической облицовки и ее осью.

Очевидно, что скорость кумулятивной струи v_c и песта v_n от­носительно неподвижной системы координат равны

Подставив в эти соотношения значения и из (8.7), после элементарных преобразований получим

(8.8)

Таким образом, чем меньше величина угла полураствора кумулятивной выемки, тем выше скорость кумулятивной струи и ниже песта.

За время из облицовки массой т₀ в пест и струю перейдут

массы и соответственно.

По закону сохранения массы можно записать

= т_с + т_п. (8.9)

Воспользуемся законом сохранения количества движения. Поскольку на материал облицовки не действуют никакие внеш­ние силы, то в проекции на ось ОХ изменение количества дви­жения замкнутой системы должно равняться нулю

(8.10)

Используя соотношение (4.9), определим

;

(8.11)

Разделив соотношения (4.11) одно на другое и разрешив относительно т_с, получим

Следовательно, чем меньше угол полураствора конуса вы­емки, тем меньшая часть массы металла облицовки переходит в струю.

Выражая массы т_с и т_п через площади поперечного сечения струй, их длины и плотность жидкости и учитывая форму­лу (8.9) для обшей массы т₀, из (8.10) находим

(8.12)

Для определения диаметров и по заданной величине угла необходимо составить еще одно уравнение. Для этой цели рассмотрим произвольный элемент В облицовки толщиной на некотором расстоянии R от оси кумулятивной струн (рисунок 8.8). Если материал облицовки несжимаем, то объем металла, проходящего за время через сечения песта и струи, должен быть равен объему металла, который перешел в них из кониче­ской облицовки. Тогда можно записать

Решая это уравнение совместно с (4.12), находим значения диаметров кумулятивной струи и песта

(8.13)

Принимая во внимание характер формирования кумулятив­ной струи из материала облицовки постоянной толщины и соот­ношения (8.13), можно сделать вывод о переменном сечении струи по ее длине, а именно: толщина кумулятивной струм уменьшается от ее хвостовой части до головной.

Полученные формулы позволяют дать лишь качественную оценку основных параметров струи и песта, и в количественном отношении являются весьма приближенными. При их выводе не учитывались неравномерность распределения импульса взрывной нагрузки (скорости обжатия) вдоль образующей облицов­ки и ряд других важных факторов.

Согласно полученным выше формулам, чем меньше угол по­лураствора выемки, тем тоньше струя (8.13) и тем выше ее ско­рость (8.8). Продолжая уменьшать угол, можно, теоретически получать сколько угодно большие скорости струи. Этот вывод на практике не подтверждается: при малых углах наблюда­ется резкое снижение пробивного действия струи (вплоть до полной ее потери), а скорость ее движения перестает увеличи­ваться. Таким образом, для данного материала облицовки су­ществует критическое значение минимального угла полураствора конуса облицовки, ниже которого кумулятивная струя не образуется.

Кроме того, в случае превышения угла о некоторого пре­дельного значения, что имеет место в облицовках малого про­гиба, формирование кумулятивной струи также не происходит, и она движется вместе с пестом, образуя компактный элемент. Иначе говоря, облицовка, сильно деформируясь, стремится при­нять форму «ядра».