9.5 Баллистика осколков

Для обеспечения поражения целей в случае взрыва БЧ на расстоянии от них осколки должны пролететь некоторый путь в воздухе. Уравнение движения центра массы осколка в общем случае записывается в виде

(9.29)

где q — масса осколка; - скорость осколка, - коэффициент силы лобового сопротивления осколка, - плотность воздуха на высоте , - текущая площадь миделя осколка, - ускорение свободного падения.

Площадь миделя является случайной величиной вследст­вие беспорядочною вращения осколка. Значение в любой те­кущий момент времени заключено в интервале от до (рисунок 9.19).

Рисунок 9.19. Характер изменения пло­щади миделя

осколка во времени

При определении текущей скорости осколков очень часто рассматриваются такие участки траектории, когда скорость осколка изменяется от начального до конечного значения , соответствующего лобовому сопротивлению осколка при автомодельности коэффициента сопротивления по числу М. В та­ком случае допущение , наряду с допущением о пренебрежении действием силы тяжести, дает возможность получить аналитическое решение уравнения (9.29). Полагая в этом уравнении также постоянной величиной плотность возду­ха и заменяя текущую площадь миделя на его среднее значение , будем иметь

(9.30)

где

Параметр имеет размерность и называется баллистической характеристикой осколка. Чтобы его рас­считать по формуле (9.30), необходимо знать среднюю площадь миделя осколка S. Для ее вычисления проф. Е. С. Вентцель был предложен следующий подход. Так как масса любого од­нородного тела определяется его объемом и плотностью мате­риала, то для сравнительно компактного осколка можно на­писать

, где — характерный размер осколка.

Из этого следует, что . Так как площадь миделя про­порциональна , то можно записать

. (9.31)

В этом выражении коэффициент пропорциональности за­висит от формы осколка и в дальнейшем был назван парамет­ром формы. Из (9.31) видно, что он имеет размерность , а для его нахождения необходимо знать среднюю пло­щадь миделя и массу осколка .

Рисунок 9.20. Абсолютные а, в и с и относительные

размеры осколка

Определить можно так. Заменить реальный осколок пря­мым параллелепипедом со сторонами (рисунок 9.20) и далее, считая его положение в пространстве равновероятным, найти среднее значение , как математическое ожидание слу­чайной величины , при известном законе распределения случайных углов и , определяющих ориен­тацию параллелепипеда относительно осей заданной системы координат. Согласно определению математического ожидания находим

(9.32)

Плотность вероятности углов и , указывающих направление орта , связанного с одной из граней параллеле­пипеда, определим следующим образом. Ввиду симметрии па­раллелепипеда рассмотрим случайную ориентацию орта лишь на поверхности _t равной 1/8 части сферы, в пределах кото­рой указанные углы изменяются от 0 до 90°. Равновероятное положение орта в пределах этой поверхности означает, что лю­бая элементарная вероятность попадания конца орта в площадку будет определяться только величиной площади этой площади, т. е.

и не будет зависеть от того, в какой именно части поверхности рассматривается площадка . Из рисунка 9.21 следует, что

Рисунок . 9.21. Onределение плотности вероятности

Учитывая, что , и используя определение плотности вероятности, находим

(9.33)

При заданных и случайная площадь миделя осколка , то есть площадь ее проекции на некоторую плоскость, может быть определена следующим образом. Пусть в начальном по­ложении грань осколка-параллелепипеда параллельна плос­кости , а орт является нормалью к этой плоскости, то есть коллинеарен орту (9.20, б). При повороте орта сна­чала на угол относительно оси , а затем на угол отно­сительно оси Oz', площадь проекции граней параллелепипеда на исходную плоскость будет определяться выражением

Подставляя это выражение площади и плотность веро­ятности (9.32) в (5.33) и выполняя интегрирование, находим

(9.34)

Уместно подчеркнуть, что такое же выражение можно по­лучить, полагая, что площадь миделя любого выпуклого тела равна четвертой части его полной поверхности . В данном случае что и дает (9.34). Подставляя в (9.31) выражение (9.34) и массу ( —плотность металла), разрешая относительно и вводя при этом относи­тельные размеры осколка

при (9.35)

получим следующую формулу для расчета параметра формы осколка

(9.36)

Как уже указывалось параметр формы осколка имеет раз­мерность , что при расчетах иногда создает дополни­тельные трудности.

Поэтому часто используют так называемый коэффициент формы осколка

(9.37)

Коэффициент безразмерен и принимает удобные для выполнения расчетов числовые значения. Например, для осколка-кубика ..

Сравнение (9.36) с (9.37) позволяет установить следующее соотношение

(9.38)

При одинаковых массах реальные осколки будут иметь несколько большую площадь миделя из-за влияния присоединенной части воздуха, создающего некоторую «сферичность» про­цесса обтекания осколка набегающим потоком. Проф. Е. С. Вентцель опытным путем установила, что для реальных («рва­ных») осколков параметр формы несколько больше . В частности, ею было найдено, что

Учитывая это обозначение, а также выражение (9.31), мож­но получить следующую формулу для расчета обобщенной бал­листической характеристики осколка

. (9.39)

При указанных выше допущениях { и, следовательно, и и известных начальных ус­ловиях ( интегрирование уравнения (9.30) дает следующую систему уравнений, определяющих прямоли­нейную траекторию осколка в параметрическом виде

(9.40)

(9.41)

Уравнение (9.30) может быть приведено к аргументу пу­тем преобразования по схеме

Подставляя это выражение в (5.30) и выполняя интегриро­вание вновь полученного уравнения при тех же начальных ус­ловиях, легко можно найти, что

(9.42)

(5.43)

Совместное рассмотрение этих уравнений с предыдущими позволяет получить следующие расчетные формулы:

(9.44)

(9.45)